Boolean Algebra and Number Theory

SOP (Sum Of Product) "Penjumlahan dari hasil kali"

Contoh :

Note : Pada SOP di setiap sukunya disebut minterm.


POS (Product Of Sum) "Perkalian dari hasil jumlah"

Contoh :

Note : Pada POS di setiap sukunya disebut maxterm.

Berikut adalah tabel minterm dan maxterm

Tabel Kebenaran SOP dan POS

Cara Penyelesaian SOP :

Mengganti Fungsi dengan lambang minterm

Cara Penyelesaian POS :

Mengganti Fungsi dengan lambang maxterm

Metode Peta Karnaugh (K - map) merupakan metode grafis untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Peta Karnaugh adalah sebuah diagram atau peta yang terbentuk dari kotak - kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian. Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm.

Tiap kotak di katakan bertetangga jika minterm - minterm yang merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal [Kenneth H. Rosen, 2000, p612].
Peta Karnaugh dapat dibentuk dari fungsi Boolean yang dispesifikasikan dengan ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikan dengan tabel kebenaran.

Peta Karnaugh :
a. Dengan 2 peubah

b. Dengan 3 peubah

c. Dengan 4 peubah

(Sumber : http://akbar-krisharnanto.blogspot.com/2012/10/matematika-diskrit-boolean-algebra.html)

Matematika Diskrit Fungsi

Misalkan A dan B himpunan.
 

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di
dalam B.
 

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A -> B
yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi dapat di spesifikasikan dalam berbagai bentuk, di antaranya :

1. Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.
2. Formula pengisian nilai (assignment) .
3. Kata - kata

Contoh : “ f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner ” . 

    4. Kode Program (source code)

 

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

 

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Fungsi satu-ke-satu

                                             

Fungsi pada, bukan satu-ke-satu

Bukan fungsi satu-ke-satu maupun pada

Bukan fungsi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.

Balikan fungsi dilambangkan dengan

Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi
dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.