Boolean Algebra and Number Theory

SOP (Sum Of Product) "Penjumlahan dari hasil kali"

Contoh :

Note : Pada SOP di setiap sukunya disebut minterm.


POS (Product Of Sum) "Perkalian dari hasil jumlah"

Contoh :

Note : Pada POS di setiap sukunya disebut maxterm.

Berikut adalah tabel minterm dan maxterm

Tabel Kebenaran SOP dan POS

Cara Penyelesaian SOP :

Mengganti Fungsi dengan lambang minterm

Cara Penyelesaian POS :

Mengganti Fungsi dengan lambang maxterm

Metode Peta Karnaugh (K - map) merupakan metode grafis untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Peta Karnaugh adalah sebuah diagram atau peta yang terbentuk dari kotak - kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian. Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm.

Tiap kotak di katakan bertetangga jika minterm - minterm yang merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal [Kenneth H. Rosen, 2000, p612].
Peta Karnaugh dapat dibentuk dari fungsi Boolean yang dispesifikasikan dengan ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikan dengan tabel kebenaran.

Peta Karnaugh :
a. Dengan 2 peubah

b. Dengan 3 peubah

c. Dengan 4 peubah

(Sumber : http://akbar-krisharnanto.blogspot.com/2012/10/matematika-diskrit-boolean-algebra.html)

Matematika Diskrit Fungsi

Misalkan A dan B himpunan.
 

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di
dalam B.
 

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A -> B
yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi dapat di spesifikasikan dalam berbagai bentuk, di antaranya :

1. Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.
2. Formula pengisian nilai (assignment) .
3. Kata - kata

Contoh : “ f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner ” . 

    4. Kode Program (source code)

 

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

 

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Fungsi satu-ke-satu

                                             

Fungsi pada, bukan satu-ke-satu

Bukan fungsi satu-ke-satu maupun pada

Bukan fungsi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.

Balikan fungsi dilambangkan dengan

Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi
dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

LOGIKA MATEMATIKA

     1.     Logika

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).

Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).

2.    Proposisi

Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai

benar (true) atau salah (false), tetapi tidak

keduanya.

Contoh Proposisi :

1. 6 adalah bilangan genap
2. Ibu kota provinsi jawa barat adalah Semarang
3. Kemarin hari hujan
4. 2 + 2 = 4
5. Jam berapa Kereta tiba ?
6. Tolong ambilkan buku tulis itu !
7. X + 3 = 8
8. X ≥ 3

Mengkombinasikan Proposisi

Operator Logika untuk menkombinasikan proposisi yaitu dan (and), atau (or) dan tidak (not).

Proposisi yang terbentuk dari pengkombinasian beberapa proposisi atomik disebut proposisi majemuk

Proposisi Majemuk ada tiga macam:

Konjungsi

Definisi 1 :

Misalkan p dan q adalah proposisi.Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p Λ q, adalah proposisi p dan q.

Contoh :

p : Hari ini hujan F

q : Hari ini dingin T

p Λ q : Hari ini hujan dan hari ini dingin / hari ini hujan dan dingin

Definisi 2:

Konjungsi p Λ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah.

Disjungsi

Definisi 3 :

Disjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p v q, adalah proposisi p atau q

Contoh :

p : ibu pergi ke pasar T

q : ibu belanja sayuran F

p v q : ibu pergi ke pasar atau belanja sayuran

Definisi 4 :

Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya bernilai salah,selain itu nilainya benar.

Ingkaran (Negasi)

Definisi 5 :

Ingkaran dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, adalah proposisi tidak p

Contoh :

p : pemuda itu tinggi

~p : tidak benar pemuda itu tinggi / pemuda      

       itu tidak tinggi.

Definisi 6 :

Ingkaran p bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar.